Boolean cebiri

Lojik devre tasarımında ve lojik devrelerin basitleştirilmesinde kullanılır. “Boolean Cebri” sayısal devrelerin analiz ve tasarımını sağlayan matematiksel teoridir. Sayısal bilgisayar devreleri uygulamasında, ikili değişkenler üzerinde tanımlanan sayısal operasyonları gösterir.
Boolean Cebri ikili sayı sistemine dayanır. Bu sistemde yer alan “0” ve “1”, sırasıyla açık (OFF) ve kapalı (ON) devrelerle eş anlamlıdır.
Boolean cebri 10 temel postülata dayanır. 0 ve 1 sayıları nedeniyle her postülat çift olarak ifade edilir. Postülatların 0 ve 1 karakterlerini kapsaması nedeniyle bunların açıklaması genellikle kapalı ve açık elektrik devreleri ile yapılır.

• 1 Postülatlar
• 2 Teoremler
o 2.1 Değişme Kuralı
o 2.2 Birleşme Kuralı
o 2.3 Aynı Kuvvet Kuralı
o 2.4 Özdeşlik Kuralı
o 2.5 Etkisiz Eleman Kuralı
o 2.6 Tamamlayıcı Kural
o 2.7 Yutma Kuralı
o 2.8 Dağılma Kuralı
o 2.9 Çift Tersleme Kuralı
o 2.10 De Morgan Kuralı

Postülatlar
0.0=0 1.1=1
0.1=0 0+1=1
1.0=0 1+0=1
1.1=1 0+0=0
0′=1 1′=0

Teoremler
Boolean Cebri, 10 teoremden oluşur.
Değişme Kuralı
A+B=B+A
A.B=B.A

Birleşme Kuralı
A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
A.B.C=(A.B).C=A.(B.C)

Aynı Kuvvet Kuralı
A.A=A
A+A=A

Özdeşlik Kuralı
A.1=A
A+0=A

Etkisiz Eleman Kuralı
A.0=0
A+1=1

Tamamlayıcı Kural
A.A’=0
A’+A=1

Yutma Kuralı
A.(A+B)=A
A+AB=A

Dağılma Kuralı
A(B+C)=AB+AC
(A+B)(A+C)=A+BC

Çift Tersleme Kuralı
A=A
(A+B)=A+B

De Morgan Kuralı
(A.B)’=A’+B’
(A+B)’=A’.B’

Doğruluk Tablosu
Giriş değerlerine göre çıkış değelerini gösteren tablodur.

A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Örnek 1 :
A+AB fonksiyonunun doğruluk tablosunu çizerek A=A+AB olduğunu gösteriniz?
A B A.B A+A.B
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1

İşlem Basitleştirme

Boolean Cebri kuralları kullanılarak dijital elektronikte karmaşık devreler sadeleştirilebilir.

Örnek 1 :

F = A ( A + B ) = AA+ AB = A + AB = A(1+B ) = A

Örnek 2 :

F = A (A + B) =A A +AB = AB

Örnek 3 :
F =A (AB + C) = AAB +AC = AB + AC = A(B+C)

Örnek 4 :

F =A B + A B = B(A+A) = B